Elément conjugué dual \(\varphi\) de \(x\in E\)
Forme linéaire \(\varphi\in E^*\) telle que $$\varphi(x)=\lVert x\rVert_E\lVert \varphi\rVert_{E^*}\quad\text{ et }\quad\lVert x\rVert_E=\lVert\varphi\rVert_{E^*}$$

• on a existence (pas unicité !) d'un tel élément

Démontrer l'existence :

On pose \(\varphi_0\) la fonction qui associe à un vecteur \(\lambda\) colinéaire avec \(x\) son produit avec \(\lVert x\rVert_E^2\).

Cette fonction remplit bien les conditions nécessaires.

On conclut en la prolongeant sur \(E^*\) via le Théorème de Hahn-Banach.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Dans quels espaces a-t-on existence du conjugué dual ?
Verso: Dans tout \({\Bbb R}\)-espace vectoriel normé.
Bonus:
Carte inversée ?:
END